動力系統中的小除數理論及應用

目錄
“現代數學基礎叢書” 序
前言
第1章 引言 1
1.1 柱面映射的不變*線 1
1.2 解析映射的線性化 3
1.3 哈密頓系統的不變環(huán) 4
第2章 無理數的連分數展開和**的小除數條件 6
2.1 連分數展開 6
2.1.1 無理數的連分數展開 6
2.1.2 無理數的*佳有理逼近 9
2.2 **的一維小除數條件 13
2.2.1 Diophantine 數 13
2.2.2 Brjuno 數 16
2.2.3 Pérez-Marco 數 20
2.2.4 條件 H 21
2.2.5 Siegel 引理和 Davie 引理 22
2.2.6 Liouville 數 32
2.2.7 CD-橋 33
2.3 **的高維小除數條件 34
2.3.1 Diophantine 條件 34
2.3.2 Brjuno 條件 36
2.3.3 Liouville 向量 45
第3章 一維小除數理論的幾個應用 49
3.1 解析同胚芽的線性化 49
3.1.1 Siegel 定理 50
3.1.2 Brjuno 定理 52
3.1.3 Yoccoz 定理 53
3.2 一個平面映射的解析不變*線問題 55
3.2.1 問題的提出 55
3.2.2 輔助方程的解析解 57
3.2.3 解析不變*線的存在性 62
3.3 Shabat 方程的解析解 64
3.3.1 問題的提出 64
3.3.2 方程(3.3.5) 的解析解 67
3.4 出現在組合數論中的迭代微分方程的解析解 76
3.4.1 問題的提出 76
3.4.2 方程(3.4.7) 的解析解 79
3.4.3 方程(3.4.6) 的解析解 88
3.5 廣義迭代根問題的解析解 90
第4章 圓周和環(huán)面上擬周期流的線性化 98
4.1 Tm 上的擬周期驅動流的線性化 100
4.1.1 預備知識 100
4.1.2 主要結果及證明 102
4.1.3 主要結果的一個應用 120
4.1.4 附錄 122
4.2 圓周上的擬周期驅動流的線性化 124
4.2.1 單頻 Liouville 頻率的情況 124
4.2.2 多維 Liouville 頻率的情況 133
第5章 退化驅動系統的不變環(huán)面和擬周期分叉 149
5.1 擬周期驅動斜積映射的拋物不變環(huán) 149
5.1.1 預備知識 149
5.1.2 法向一維斜積映射的拋物不變環(huán) 152
5.1.3 法向高維斜積映射的拋物不變環(huán) 168
5.2 退化擬周期驅動系統的響應解和擬周期分叉 169
5.2.1 預備知識 170
5.2.2 一維退化系統的響應解 172
5.2.3 高維系統的響應解 184
5.2.4 一維系統的退化擬周期分叉 190
5.2.5 哈密頓系統的退化擬周期分叉 198
第6章 具有擬周期驅動偏微分方程的不變環(huán)面 212
6.1 不含一次項的驅動波動方程的不變環(huán)面 212
6.1.1 主要結果的敘述 212
6.1.2 一個常微分方程的擬周期解 214
6.1.3 波動方程的哈密頓函數設置 217
6.1.4 線性哈密頓系統(6.1.24) 的約化 223
6.1.5 部分 Birkhoff 正規(guī)形 245
6.1.6 一個無窮維 KAM 定理 258
6.1.7 主要定理的證明 261
6.2 具有非齊次項的驅動薛定諤方程的不變環(huán)面 266
6.2.1 主要結果的敘述 267
6.2.2 一個常微分方程的擬周期解 268
6.2.3 哈密頓函數設置和線性哈密頓系統的約化 274
6.2.4 擾動項的正則性 282
6.2.5 部分 Birkhoff 正規(guī)形 284
6.2.6 主要定理的證明 291
6.3 超越多維 Brjuno 頻率的驅動梁方程的 Whiskered 環(huán) 294
6.3.1 預備知識 295
6.3.2 主要定理 6.3.2 的證明 299
6.3.3 主要結果的證明 320
6.3.4 附錄 325
6.4 超越 Brjuno 頻率的病態(tài) Boussinesq 方程的響應解 327
6.4.1 預備知識 327
6.4.2 同調方程和它的解 332
6.4.3 KAM 步 342
6.4.4 KAM 步的動機 344
6.4.5 一個有限歸納 345
6.4.6 一個無限歸納 354
6.4.7 收斂性 357
6.4.8 測度估計 358
6.4.9 應用: 定理 6.4.1 的證明 359
6.4.10 附錄 367
第7章 二維完全共振薛定諤方程擬周期解的構造 370
7.1 主要結果的敘述 370
7.1.1 切向位置的可容許集 370
7.1.2 主要結果 371
7.2 一個無窮維 KAM 定理 372
7.2.1 泛函知識的預備 372
7.2.2 KAM 定理 374
7.3 定理 7.2.1 的證明 377
7.3.1 KAM 步 378
7.3.2 測度估計 394
7.4 哈密頓公式和部分 Birkhoff 正規(guī)形 397
7.4.1 哈密頓公式 397
7.4.2 部分 Birkhoff 正規(guī)形 398
7.5 定理 7.1.1 的證明 408
7.5.1 驗證(A1) 和(A2) 408
7.5.2 驗證(A3) 409
7.5.3 驗證(A4)，(A5) 和(A6) 421
7.6 可容許集 S 的非空性 422
參考文獻 424