分數(shù)階微積分學：數(shù)值算法與實現(xiàn)

第 1章分數(shù)階微積分學簡介  1 
1.1分數(shù)階微積分學的歷史回顧  1 
1.2自然世界中的分數(shù)階現(xiàn)象與模型舉例  4 
1.3分數(shù)階微積分計算的歷史回顧  5 
1.3.1分數(shù)階微積分的數(shù)值計算  5 
1.3.2分數(shù)階常微分方程的數(shù)值計算  6 
1.3.3分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值計算  7 
1.4分數(shù)階微積分與分數(shù)階控制工具簡介  8 
1.5本書的結構 9 
1.5.1本書的主要內容與要點 9 
1.5.2閱讀本書的建議  11
參考文獻  12
第 2章常用特殊函數(shù)的定義與計算  17 
2.1誤差函數(shù)與補誤差函數(shù)  17 
2.2 Gamma函數(shù) 19 
2.2.1 Gamma函數(shù)的定義與性質  20 
2.2.2復數(shù)的 Gamma函數(shù)  23 
2.2.3 Gamma函數(shù)的其他表現(xiàn)形式  23 
2.2.4不完全 Gamma函數(shù)  24 
2.3 Beta函數(shù)  24 
2.3.1 Beta函數(shù)的定義與性質  24 
2.3.2不完全 Beta函數(shù) 27 
2.4 Dawson函數(shù) 27 
2.5超幾何函數(shù) 29 
2.6 Mittag-Leffler函數(shù)  32 
2.6.1單參數(shù) Mittag-Leffler函數(shù)  32 
2.6.2雙參數(shù) Mittag-Leffler函數(shù)  34 
vi分數(shù)階微積分學——數(shù)值算法與實現(xiàn) 
2.6.3多參數(shù) Mittag-Leffler函數(shù)  39 
2.6.4 Mittag-Leffler函數(shù)與超幾何函數(shù)的關系 39 
2.6.5 Mittag-Leffler函數(shù)的導數(shù) 40 
2.6.6 Mittag-Leffler函數(shù)及其導數(shù)的數(shù)值運算 43
本章習題  44
參考文獻  46
第 3章分數(shù)階微積分：定義與計算 47 
3.1分數(shù)階 Cauchy積分公式 48 
3.1.1 Cauchy積分公式 49 
3.1.2常用函數(shù)的分數(shù)階微分與積分公式  49 
3.2 Grünwald–Letnikov分數(shù)階微積分定義與計算  50 
3.2.1高階整數(shù)階導數(shù)的推導 50 
3.2.2 Grünwald–Letnikov分數(shù)階微分的定義 50 
3.2.3 Grünwald–Letnikov分數(shù)階微分與積分的數(shù)值計算  51 
3.2.4 Podlubny的矩陣算法  58 
3.2.5短時記憶效應及其探討 59 
3.3 Riemann–Liouville分數(shù)階微積分定義與計算 62 
3.3.1高階整數(shù)階積分公式  63 
3.3.2 Riemann–Liouville分數(shù)階微積分定義  63 
3.3.3常用函數(shù)的 Riemann–Liouville微積分公式  64 
3.3.4初始時刻平移的性質  65 
3.3.5 Riemann–Liouville定義的數(shù)值計算  66 
3.3.6 Riemann–Liouville微積分的符號計算  68 
3.4 Caputo分數(shù)階微積分定義  69 
3.4.1 Caputo微積分定義  69 
3.4.2常用的 Caputo導數(shù)公式  69 
3.4.3 Caputo定義的符號運算  71 
3.5各種不同分數(shù)階微積分定義之間的關系 72 
3.5.1 Grünwald–Letnikov與 Riemann–Liouville定義的關系  72 
3.5.2 Caputo與 Riemann–Liouville定義的關系  73 
3.5.3 Caputo分數(shù)階微分的數(shù)值計算 73 
3.6分數(shù)階微積分的性質與幾何解釋  75 
3.6.1分數(shù)階微積分的性質  75 
3.6.2分數(shù)階積分的幾何解釋 77 
本章習題  80
參考文獻  82
第 4章分數(shù)階微積分的高精度數(shù)值計算  83 
4.1任意整數(shù)階的生成函數(shù)構造  83 
4.2高精度 Grünwald–Letnikov導數(shù)算法的嘗試 87 
4.2.1基于 FFT的算法 88 
4.2.2系數(shù)計算的遞推公式  90 
4.3高精度 Grünwald–Letnokov算法與實現(xiàn)  95 
4.3.1非零初值的分解與補償 95 
4.3.2高精度算法與實現(xiàn)  96 
4.3.3算法的測試與評價  97 
4.3.4再論矩陣算法  100 
4.4 Caputo微分的高精度算法  100 
4.4.1算法與實現(xiàn)  101 
4.4.2算法的測試與評價  101 
4.4.3基準測試問題求解  103 
4.5更高階分數(shù)階導數(shù)的計算 105 
4.5.1整數(shù)階高階導數(shù)的高精度算法  105 
4.5.2高階分數(shù)階導數(shù)計算  107
本章習題  110
參考文獻  112
第 5章分數(shù)階微積分算子與系統(tǒng)的近似  113 
5.1線性整數(shù)階模型的表示與分析  114 
5.1.1數(shù)學模型輸入與處理  114 
5.1.2時域與頻域響應  115 
5.1.3分數(shù)階線性系統(tǒng)的建模與分析  115 
5.2基于連分式的幾種近似方法  116 
5.2.1連分式近似  116 
5.2.2 Carlson近似  118 
5.2.3 Matsuda–Fujii近似 121 
5.2.4擬合效果與濾波器參數(shù)選擇的關系  123 
5.3 Oustaloup濾波器近似  124 
5.3.1常規(guī)的 Oustaloup近似  124 
5.3.2一種改進的 Oustaloup濾波器 129 
viii分數(shù)階微積分學——數(shù)值算法與實現(xiàn) 
5.4分數(shù)階傳遞函數(shù)的整數(shù)階近似  132 
5.4.1分數(shù)階傳遞函數(shù)的高階近似  132 
5.4.2基于模型降階技術的低階近似方法  135 
5.5無理分數(shù)階模型的近似  140 
5.5.1隱式無理模型的近似  140 
5.5.2頻域響應近似方法  141 
5.5.3 Charef近似  144 
5.5.4復雜無理模型的最優(yōu) Charef濾波器設計 148 
5.6離散濾波器近似  154 
5.6.1 FIR濾波器逼近  155 
5.6.2 IIR濾波器逼近  157 
5.6.3基于階躍或沖激響應不變性的離散濾波器  159
本章習題  161
參考文獻  163
第 6章線性分數(shù)階微分方程的解析解與數(shù)值解 165 
6.1線性分數(shù)階微分方程簡介 165 
6.1.1線性分數(shù)階微分方程的一般形式  166 
6.1.2不同定義下的分數(shù)階導數(shù)初值問題  166 
6.1.3一個重要的 Laplace變換公式  168 
6.2一些線性分數(shù)階微分方程的解析解方法 169 
6.2.1線性單項分數(shù)階微分方程  169 
6.2.2雙項分數(shù)階微分方程  169 
6.2.3三項分數(shù)階微分方程  170 
6.2.4一般 n項分數(shù)階微分方程  171 
6.3同元次線性微分方程的解析求解  172 
6.3.1同元次微分方程的一般形式  172 
6.3.2線性分數(shù)階微分方程求解的一些常用 Laplace變換公式  174 
6.3.3同元次微分方程的解析解  175 
6.4零初值線性分數(shù)階微分方程的閉式解算法  179 
6.4.1閉式解算法  179 
6.4.2分數(shù)階線性模型的沖激響應  181 
6.4.3分數(shù)階微分方程數(shù)值解的檢驗  183 
6.4.4基于矩陣的求解算法  184 
6.4.5高精度閉式解算法  186 
6.5非零初值線性 Caputo微分方程的數(shù)值解法  188 
6.5.1 Caputo微分方程的數(shù)學描述  188 
6.5.2 Taylor輔助函數(shù)算法 188 
6.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 191 
6.6線性分數(shù)階狀態(tài)方程求解 197 
6.6.1線性分數(shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述  197 
6.6.2狀態(tài)轉移矩陣  198 
6.6.3非同元次系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型  201 
6.7無理分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法  202 
6.7.1無理分數(shù)階傳遞函數(shù)描述  202 
6.7.2基于數(shù)值 Laplace反變換的仿真方法  202 
6.7.3閉環(huán)無理系統(tǒng)的時域響應計算  205 
6.7.4任意輸入信號的時域響應  207 
6.8線性分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定  208 
6.8.1線性同元次分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定 209 
6.8.2非同元次系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定  211 
6.8.3無理系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定 214
本章習題  216
參考文獻  217
第 7章非線性分數(shù)階微分方程的數(shù)值求解  219 
7.1分數(shù)階微分方程描述  220 
7.1.1分數(shù)階微分方程的一般形式  220 
7.1.2同元次狀態(tài)方程  221 
7.1.3擴展狀態(tài)方程  221 
7.2非線性 Caputo微分方程的數(shù)值解算法 223 
7.2.1標量型同元次方程的數(shù)值解方法  223 
7.2.2向量型同元次 Caputo微分方程的求解  227 
7.2.3分數(shù)階擴展狀態(tài)方程的數(shù)值求解  231 
7.2.4基于代數(shù)方程求解的微分方程算法  237 
7.3 Caputo微分方程的高效高精度算法 239 
7.3.1預估方程 239 
7.3.2校正求解方法  242
本章習題  244
參考文獻  246 
x分數(shù)階微積分學——數(shù)值算法與實現(xiàn)
第 8章基于框圖的分數(shù)階微分方程求解  247 
8.1 FOTF工具箱與模塊集簡介  247 
8.1.1分數(shù)階傳遞函數(shù)模塊的輸入與連接  248 
8.1.2分數(shù)階線性狀態(tài)方程模型  250 
8.1.3線性分數(shù)階系統(tǒng)的分析函數(shù)  250 
8.1.4 FOTF模塊集  251 
8.2零初值分數(shù)階微分方程的框圖解法  252 
8.2.1 Simulink建模準則  252 
8.2.2 Simulink的環(huán)境參數(shù)設置  253 
8.2.3分數(shù)階微分方程的 Simulink建模與求解  255 
8.2.4非線性分數(shù)階微分方程數(shù)值解的檢驗 261 
8.3非零初值 Caputo微分方程的框圖解法 262 
8.3.1顯式 Caputo微分方程的建模仿真方法  262 
8.3.2分數(shù)階狀態(tài)方程的 Simulink建模  267 
8.3.3階次大于 1的狀態(tài)方程處理方法 273 
8.4分數(shù)階反饋控制系統(tǒng)的 Simulink仿真  276 
8.4.1分數(shù)階傳遞函數(shù)模塊  276 
8.4.2分數(shù)階 PID控制器及閉環(huán)系統(tǒng)仿真  276 
8.4.3多變量控制系統(tǒng)的仿真 278
本章習題  280
參考文獻  282
第 9章特殊微分方程的數(shù)值求解 285 
9.1隱式微分方程  285 
9.1.1隱式 Caputo微分方程的高精度矩陣算法  285 
9.1.2隱式分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法  289 
9.1.3基于剛性微分方程的求解方法  291 
9.1.4隱式模塊的逼近效果  292 
9.2延遲微分方程的求解  294 
9.2.1基本測試問題的設計  295 
9.2.2歷史函數(shù)的建模  295 
9.2.3延遲微分方程的求解  296 
9.3微分方程的邊值問題求解 299 
9.3.1邊值問題的數(shù)學形式  299 
9.3.2打靶法的最優(yōu)化與代數(shù)方程建模  300 
9.3.3 Simulink的快速重啟設置  302 
9.3.4邊值問題的直接求解  302 
9.4時間分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值求解  307
本章習題  314
參考文獻  316
附錄A分數(shù)階微分方程求解的基準測試問題 317 
A.1基準測試問題的數(shù)學描述與證明  317 
A.1.1分數(shù)階常微分方程初值問題 317 
A.1.2分數(shù)階微分方程的邊值問題 322 
A.1.3分數(shù)階延遲微分方程  323 
A.2基本測試問題 Simulink模塊組 324
本章習題  325
參考文獻  326
附錄B分數(shù)階和無理函數(shù)相關的Laplace反變換  327 
B.1分數(shù)階微積分學常用的特殊函數(shù)  327 
B.2 Laplace反變換表  328
參考文獻  330
附錄C FOTF工具箱函數(shù)與模型  331 
C.1基本計算函數(shù)  331 
C.1.1特殊函數(shù)與其他數(shù)學問題計算與支持函數(shù) 331 
C.1.2分數(shù)階微積分數(shù)值計算  332 
C.1.3濾波器設計 332 
C.1.4線性分數(shù)階微分方程求解 332 
C.1.5非線性分數(shù)階微分方程求解 333 
C.2面向對象的程序設計  333 
C.2.1分數(shù)階傳遞函數(shù)的 FOTF類 333 
C.2.2分數(shù)階狀態(tài)方程的 FOSS類  334 
C.3 Simulink模型 335 
C.3.1 Simulink的 FOTF模塊集  336 
C.3.2重要的可重用分數(shù)階系統(tǒng)仿真模型  336
參考文獻  336
索引  337