薛定宇教授大講堂：MATLAB線性代數(shù)運(yùn)算（卷Ⅲ）

目　錄
CONTENTS
第 1章線性代數(shù)簡介 · 1
1.1矩陣與線性方程組 1
1.1.1表格的矩陣表示 1
1.1.2線性方程組的建立與求解 3
1.2線性代數(shù)發(fā)展簡介 8
1.2.1線性代數(shù)數(shù)學(xué)理論 8
1.2.2數(shù)值線性代數(shù) 10本章習(xí)題 12第 2章矩陣的表示與基本運(yùn)算 13
2.1一般矩陣的輸入方法 13
2.2特殊矩陣的輸入方法 14
2.2.1零矩陣、幺矩陣及單位矩陣 · 15
2.2.2隨機(jī)元素矩陣 15
2.2.3 Hankel矩陣 · 17
2.2.4對(duì)角元素矩陣 18
2.2.5 Hilbert矩陣及 Hilbert逆矩陣 20
2.2.6相伴矩陣 · 21
2.2.7 Wilkinson矩陣 · 21
2.2.8 Vandermonde矩陣 22
2.2.9一些常用的測試矩陣 23
2.3符號(hào)型矩陣的輸入方法 24
2.3.1特殊符號(hào)矩陣的輸入方法 24
2.3.2任意常數(shù)矩陣的輸入 24
2.3.3任意矩陣函數(shù)的輸入 25
2.4稀疏矩陣的輸入 · 26
2.5矩陣的基本運(yùn)算 · 29
2.5.1復(fù)數(shù)矩陣的處理 29
·iv·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數(shù)運(yùn)算
2.5.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn) 30
2.5.3矩陣的代數(shù)運(yùn)算 31
2.5.4矩陣的 Kronecker乘積與 Kronecker和 · 36
2.6矩陣函數(shù)的微積分運(yùn)算 37
2.6.1矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 37
2.6.2矩陣函數(shù)的積分 38
2.6.3向量函數(shù)的 Jacobi矩陣 39
2.6.4 Hesse矩陣 39本章習(xí)題 40
第 3章矩陣基本分析 · 43
3.1行列式 · 43
3.1.1行列式的定義與性質(zhì) 43
3.1.2低階矩陣的行列式計(jì)算 44
3.1.3行列式計(jì)算問題的 MATLAB求解 47
3.1.4任意階特殊矩陣的行列式計(jì)算· 50
3.1.5線性方程組的 Cramer法則 · 51
3.1.6正矩陣與完全正矩陣 52
3.2矩陣的簡單分析 · 53
3.2.1矩陣的跡 · 54
3.2.2線性無關(guān)與矩陣的秩 54
3.2.3矩陣的范數(shù) · 56
3.2.4向量空間 · 58
3.3逆矩陣與廣義逆矩陣 59
3.3.1矩陣的逆矩陣 59
3.3.2逆矩陣的導(dǎo)函數(shù) 60
3.3.3 MATLAB提供的矩陣求逆函數(shù) 61
3.3.4簡化的行階梯型矩陣 63
3.3.5矩陣的廣義逆 65
3.4特征多項(xiàng)式與特征值 67
3.4.1矩陣的特征多項(xiàng)式 67
3.4.2多項(xiàng)式方程的求根 69
3.4.3一般矩陣的特征值與特征向量· 70
3.4.4矩陣的廣義特征向量問題 73
3.4.5 Gershgorin圓盤與對(duì)角占優(yōu)矩陣 · 75 3.5矩陣多項(xiàng)式 · 76
3.5.1矩陣多項(xiàng)式的求解 76
3.5.2矩陣的最小多項(xiàng)式 78
3.5.3符號(hào)多項(xiàng)式與數(shù)值多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換 · 78本章習(xí)題 80
第 4章矩陣的基本變換與分解 83
4.1相似變換與正交矩陣 83
4.1.1相似變換 · 83
4.1.2正交矩陣與正交基 84
4.2初等行變換 · 85
4.2.1三種初等行變換方法 86
4.2.2用初等行變換的方法求逆矩陣· 88
4.2.3主元素方法求逆矩陣 89
4.3矩陣的三角分解 · 90
4.3.1線性方程組的 Gauss消去法 · 90
4.3.2一般矩陣的三角分解算法與實(shí)現(xiàn) · 91
4.3.3 MATLAB三角分解函數(shù) · 92
4.4矩陣的 Cholesky分解 94
4.4.1對(duì)稱矩陣的 Cholesky分解 94
4.4.2對(duì)稱矩陣的二次型表示 95
4.4.3正定矩陣與正規(guī)矩陣 96
4.4.4非正定矩陣的 Cholesky分解 97
4.5相伴變換與 Jordan變換 98
4.5.1一般矩陣變換成相伴矩陣 98
4.5.2矩陣的對(duì)角化 99
4.5.3矩陣的 Jordan變換 · 100
4.5.4復(fù)特征值矩陣的實(shí) Jordan分解 101
4.5.5正定矩陣的同時(shí)對(duì)角化 103
4.6奇異值分解 · 104
4.6.1奇異值與條件數(shù) 104
4.6.2長方形矩陣的奇異值分解 106
4.6.3基于奇異值分解的同時(shí)對(duì)角化· 106
4.7 Givens變換與 Householder變換 · 107
4.7.1二維坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換 107
4.7.2一般矩陣的 Givens變換 109
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4.7.3 Householder變換 · 111本章習(xí)題 112
第 5章矩陣方程求解 · 115
5.1線性方程組 · 115
5.1.1唯一解的求解 116
5.1.2方程無窮解的求解與構(gòu)造 119
5.1.3矛盾方程的求解 122
5.1.4線性方程解的幾何解釋 122
5.2其他形式的簡單線性方程組 124
5.2.1方程 XA = B的求解 · 124
5.2.2方程 AXB = C的求解 125
5.2.3基于 Kronecker乘積的方程解法 127
5.2.4多項(xiàng)方程 AXB = C的求解 127
5.3 Lyapunov方程· 128
5.3.1連續(xù) Lyapunov方程 · 128

5.3.2二階 Lyapunov方程的 Kronecker乘積表示 · 130
5.3.3一般 Lyapunov方程的解析解 130
5.3.4 Stein方程的求解 · 131
5.3.5離散 Lyapunov方程 · 132
5.4 Sylvester方程 · 133
5.4.1 Sylvester方程的數(shù)學(xué)形式與數(shù)值解 · 133
5.4.2 Sylvester方程的解析求解 133
5.4.3含參數(shù) Sylvester方程的解析解 136
5.4.4多項(xiàng) Sylvester方程的求解 136
5.5非線性矩陣方程 · 137
5.5.1 Riccati代數(shù)方程 · 137
5.5.2一般多解非線性矩陣方程的數(shù)值求解 · 138
5.5.3變形 Riccati方程的求解 142
5.5.4一般非線性矩陣方程的數(shù)值求解 · 143
5.6多項(xiàng)式方程的求解 144
5.6.1多項(xiàng)式互質(zhì) · 144
5.6.2 Diophantine多項(xiàng)式方程 145
5.6.3偽多項(xiàng)式方程求根 147本章習(xí)題 148 第 6章矩陣函數(shù) · 151
6.1矩陣元素的非線性運(yùn)算 152
6.1.1數(shù)據(jù)的取整與有理化運(yùn)算 152
6.1.2超越函數(shù)計(jì)算命令 153
6.1.3向量的排序、最大值與最小值 156
6.1.4數(shù)據(jù)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 · 156
6.2矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算 157
6.2.1矩陣函數(shù)的定義與性質(zhì) 157
6.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算 158
6.2.3基于 Taylor冪級(jí)數(shù)的截?cái)嗨惴?middot; 158


6.2.4基于 Cayley–Hamilton定理的計(jì)算 160
6.2.5 MATLAB的直接計(jì)算函數(shù) 161
6.2.6基于 Jordan變換的求解方法 162
6.3矩陣的對(duì)數(shù)與平方根函數(shù)計(jì)算 163
6.3.1矩陣的對(duì)數(shù)運(yùn)算 163
6.3.2矩陣的平方根運(yùn)算 164
6.4矩陣的三角函數(shù)運(yùn)算 165
6.4.1矩陣的三角函數(shù)運(yùn)算 165
6.4.2基于冪級(jí)數(shù)展開的矩陣三角函數(shù)計(jì)算 · 166
6.4.3矩陣三角函數(shù)的解析求解 167
6.5一般矩陣函數(shù)的運(yùn)算 169
6.5.1冪零矩陣 · 169
6.5.2基于 Jordan變換的矩陣函數(shù)運(yùn)算 170
6.5.3矩陣自定義函數(shù)的運(yùn)算 173
6.6矩陣的乘方運(yùn)算 · 174
6.6.1基于 Jordan變換的矩陣乘方運(yùn)算 174
6.6.2通用乘方函數(shù)的編寫 175
6.6.3基于 z變換的矩陣乘方計(jì)算 · 176
6.6.4計(jì)算矩陣乘方 kA · 177本章習(xí)題 178
第 7章線性代數(shù)的應(yīng)用 180
7.1線性方程組的應(yīng)用 180
7.1.1電路網(wǎng)絡(luò)分析 180
7.1.2結(jié)構(gòu)平衡的分析方法 186
7.1.3化學(xué)反應(yīng)方程式配平 186
·viii·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數(shù)運(yùn)算
7.2線性控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 188
7.2.1控制系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換 189
7.2.2線性系統(tǒng)的定性分析 190
7.2.3多變量系統(tǒng)的傳輸零點(diǎn) 192
7.2.4線性微分方程的直接求解 192
7.3數(shù)字圖像處理應(yīng)用簡介 193
7.3.1圖像的讀入與顯示 194
7.3.2矩陣的奇異值分解 195
7.3.3圖像幾何尺寸變換與旋轉(zhuǎn) 196
7.3.4圖像增強(qiáng) · 198
7.4圖論與應(yīng)用 · 200
7.4.1有向圖的描述 201
7.4.2 Dijkstra最短路徑算法及實(shí)現(xiàn) · 202
7.4.3控制系統(tǒng)方框圖化簡 205
7.5差分方程求解 · 208
7.5.1一般差分方程的解析解方法· 209
7.5.2線性時(shí)變差分方程的數(shù)值解方法 · 210
7.5.3線性時(shí)不變差分方程的解法· 212
7.5.4一般非線性差分方程的數(shù)值解方法 · 213
7.5.5 Markov鏈的仿真 · 214
7.6數(shù)據(jù)擬合與分析 · 215
7.6.1線性回歸 · 216
7.6.2多項(xiàng)式擬合 · 217
7.6.3 Chebyshev多項(xiàng)式 219
7.6.4 Bézier曲線 221
7.6.5主成分方法 · 223本章習(xí)題 225參考文獻(xiàn)· 231
MATLAB函數(shù)名索引 · 233術(shù)語索引· 237
線性代數(shù)簡介